|
Vorwort |
8 |
|
|
Inhaltsverzeichnis |
10 |
|
|
1 Logik, Mengen, Zahlensysteme |
24 |
|
|
1.1 Aussagenlogik |
24 |
|
|
1.1.1 Allgemeines |
24 |
|
|
1.1.2 Ein- und zweistellige BOOLEscheFunktionen |
26 |
|
|
1.1.3 BOOLEsche Algebra |
28 |
|
|
1.1.4 Normalformen |
30 |
|
|
1.2 Prädikatenlogik |
32 |
|
|
1.3 Mengen |
33 |
|
|
1.3.1 Allgemeines |
33 |
|
|
1.3.2 Mengenoperationen |
36 |
|
|
1.3.3 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln |
38 |
|
|
1.3.4 Relationen |
39 |
|
|
1.3.5 Intervalle |
41 |
|
|
1.3.6 Unscharfe Mengen |
41 |
|
|
1.4 Zahlensysteme |
43 |
|
|
1.4.1 Polyadische Zahlensysteme |
43 |
|
|
1.4.2 Römisches Zahlensystem |
48 |
|
|
2 Arithmetik |
49 |
|
|
2.1 Menge der reellen Zahlen |
49 |
|
|
2.1.1 Standard-Zahlenmengen |
49 |
|
|
2.1.2 Grundoperationen an reellen Zahlen |
51 |
|
|
2.1.2.1 Die vier Grundrechenarten |
51 |
|
|
2.1.2.2 Proportionen, Verhältnisgleichungen |
55 |
|
|
2.1.2.3 Prozentrechnung |
56 |
|
|
2.1.2.4 Näherung |
57 |
|
|
2.1.2.5 Fehlerrechnung |
58 |
|
|
2.1.2.6 Betrag und Signum |
59 |
|
|
2.1.2.7 Summen- und Produktzeichen |
60 |
|
|
2.1.3 Potenzen und Wurzeln |
62 |
|
|
2.1.4 Logarithmen |
64 |
|
|
2.1.5 Fakultät und Binomialkoeffizient |
66 |
|
|
2.2 Menge der komplexen Zahlen |
69 |
|
|
2.2.1 Grundbegriffe |
69 |
|
|
2.2.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen |
72 |
|
|
2.2.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen |
73 |
|
|
2.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen |
74 |
|
|
2.2.5 Natürliche Logarithmen komplexer Zahlen |
76 |
|
|
2.3 Kombinatorik |
77 |
|
|
2.3.1 Permutationen |
77 |
|
|
2.3.2 Variationen |
79 |
|
|
2.3.3 Kombinationen |
80 |
|
|
2.4 Folgen |
82 |
|
|
2.4.1 Allgemeines |
82 |
|
|
2.4.2 Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge |
83 |
|
|
2.4.3 Arithmetische und geometrische Folgen |
86 |
|
|
2.4.4 Finanzmathematik |
89 |
|
|
2.4.4.1 Zinsrechnung |
89 |
|
|
2.4.4.2 Zinseszinsrechnung |
90 |
|
|
2.4.4.3 Rentenrechnung |
91 |
|
|
2.4.4.4 Schuldentilgung, Annuität |
92 |
|
|
3 Algebra (Gleichungen) |
94 |
|
|
3.1 Allgemeines |
94 |
|
|
3.2 Lineare algebraische Gleichungen |
98 |
|
|
3.2.1 Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen |
98 |
|
|
3.2.2 Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit mehreren Variablen |
100 |
|
|
3.3 Nichtlineare Gleichungen |
103 |
|
|
3.3.1 Nichtlineare algebraische Gleichungen |
104 |
|
|
3.3.1.1 Quadratische Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen |
104 |
|
|
3.3.1.2 Quadratisches Gleichungssystem mit zwei Variablen |
105 |
|
|
3.3.1.3 Kubische Gleichungen |
107 |
|
|
3.3.1.4 Gleichungen 4. Grades |
108 |
|
|
3.3.1.5 Symmetrische Gleichungen |
109 |
|
|
3.3.1.6 Algebraische Gleichungen n-ten Grades |
110 |
|
|
3.3.1.7 HORNER-Schema |
111 |
|
|
3.3.1.8 Wurzelgleichungen mit einer Variablen |
113 |
|
|
3.3.2 Transzendente Gleichungen |
114 |
|
|
3.3.2.1 Exponentialgleichungen |
114 |
|
|
3.3.2.2 Logarithmische Gleichungen |
114 |
|
|
3.3.2.3 Goniometrische Gleichungen |
115 |
|
|
3.3.2.4 Betragsgleichungen, Betragsungleichungen |
116 |
|
|
3.4 Numerische Verfahren |
117 |
|
|
3.4.1 Verfahren von MULLERfür Polynome |
117 |
|
|
3.4.2 Fixpunktiteration |
120 |
|
|
3.4.3 NEWTONsches (Tangenten-)Näherungsverfahren |
122 |
|
|
3.4.4 Sekantenmethode (Regula falsi) |
124 |
|
|
3.4.5 Einschlussverfahren |
125 |
|
|
3.5 Nichtlineare Gleichungssysteme |
127 |
|
|
3.5.1 Allgemeines |
127 |
|
|
3.5.2 Iterationsverfahren |
128 |
|
|
3.5.3 Quadratisch konvergentes NEWTON-Verfahren |
129 |
|
|
3.6 Grafische Lösung von Gleichungen |
130 |
|
|
4 Elementare (klassische) Geometrie |
132 |
|
|
4.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie |
132 |
|
|
4.1.1 Winkel |
132 |
|
|
4.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz, Symmetrie |
134 |
|
|
4.1.3 Dreieck |
137 |
|
|
4.1.3.1 Schiefwinkliges Dreieck |
138 |
|
|
4.1.3.2 Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck |
143 |
|
|
4.1.3.3 Rechtwinkliges Dreieck |
144 |
|
|
4.1.4 Vierecke |
146 |
|
|
4.1.4.1 Trapez |
146 |
|
|
4.1.4.2 Parallelogramme |
147 |
|
|
4.1.4.3 Unregelmäßige Vierecke mit Umkreis bzw. Inkreis |
148 |
|
|
4.1.5 Vielecke (Polygone) |
149 |
|
|
4.1.5.1 Ebene sternförmige n-Ecke |
149 |
|
|
4.1.5.2 Regelmäßige (reguläre) Vielecke |
149 |
|
|
4.1.5.3 Einige bestimmte regelmäßige Vielecke |
150 |
|
|
4.1.5.4 Konstruktion der einfachen regelmäßigen Vielecke |
151 |
|
|
4.1.6 Der Kreis |
152 |
|
|
4.1.6.1 Sätze zum Kreis |
152 |
|
|
4.1.6.2 Kreisberechnungen |
153 |
|
|
4.2 Geometrische Körper (Stereometrie) |
155 |
|
|
4.2.1 Allgemeines |
155 |
|
|
4.2.2 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) |
157 |
|
|
4.2.2.1 Prismatische Körper |
157 |
|
|
4.2.2.2 Pyramide, Pyramidenstumpf |
158 |
|
|
4.2.2.3 Prismoid |
159 |
|
|
4.2.2.4 Die fünf regelmäßigen Polyeder |
160 |
|
|
4.2.3 Krummflächig begrenzte Körper |
162 |
|
|
4.2.3.1 Zylinder, Zylinderabschnitt |
162 |
|
|
4.2.3.2 Kegel, Kegelstumpf |
163 |
|
|
4.2.3.3 Kugel |
164 |
|
|
4.2.3.4 Tonne, Torus |
166 |
|
|
4.2.3.5 Fraktale Geometrie |
166 |
|
|
4.3 Sphärische Trigonometrie |
168 |
|
|
4.3.1 Allgemeines |
168 |
|
|
4.3.2 Rechtwinkliges sphärisches Dreieck |
169 |
|
|
4.3.3 Schiefwinkliges sphärisches Dreieck |
170 |
|
|
4.3.4 Berechnung sphärischer Dreiecke |
172 |
|
|
4.3.5 Mathematische Geografie |
173 |
|
|
5 Lineare Algebra |
176 |
|
|
5.1 Vektorraum |
176 |
|
|
5.2 Matrizen |
180 |
|
|
5.2.1 Matrizenarten, Definitionen |
180 |
|
|
5.2.1.1 Allgemeines |
180 |
|
|
5.2.1.2 Quadratische Matrizen |
182 |
|
|
5.2.1.3 Inverse Matrix, (Um-)Kehrmatrix A-1 |
188 |
|
|
5.2.1.4 Rang einer Matrix |
189 |
|
|
5.2.1.5 Matrizennormen |
190 |
|
|
5.2.1.6 Grenzwert, Differenzialquotient, Integral |
191 |
|
|
5.2.2 Matrizengesetze |
191 |
|
|
5.2.2.1 Gleichheit und Summe zweier Matrizen |
191 |
|
|
5.2.2.2 Multiplikation von Matrizen |
191 |
|
|
5.2.3 Matrizengleichungen |
194 |
|
|
5.2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen |
195 |
|
|
5.2.5 Numerische Verfahren |
198 |
|
|
5.2.5.1 HOUSEHOLDER-Orthogonalisierung (-Transformation) |
198 |
|
|
5.2.5.2 QR-Verfahren |
199 |
|
|
5.2.5.3 Vektoriteration (Potenzmethode, v.-MISES-Verfahren) |
200 |
|
|
5.3 Determinanten |
201 |
|
|
5.3.1 Determinante einer quadratischen Matrix |
201 |
|
|
5.3.2 Berechnung von Determinanten |
202 |
|
|
5.3.3 Rechenregeln für Determinanten |
204 |
|
|
5.3.4 Praktische Berechnung einer Determinante |
205 |
|
|
5.4 Lineare Gleichungssysteme |
206 |
|
|
5.4.1 Allgemeines |
206 |
|
|
5.4.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme |
207 |
|
|
5.4.3 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme |
209 |
|
|
5.4.3.1 Einfacher und verketteter GAUSSscher Algorithmus |
210 |
|
|
5.4.3.2 GAUSSscher Algorithmus für Systeme mit gleicher Matrix A und m rechten Seiten |
214 |
|
|
5.4.3.3 GAUSS-JORDAN-Verfahren zur Matrixinversion |
215 |
|
|
5.4.3.4 GAUSSscher Algorithmus für symmetrische,positiv definite Koeffizientenmatrix, CHOLESKY-Verfahren |
216 |
|
|
5.4.3.5 Gleichungssysteme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix |
217 |
|
|
5.4.3.6 GAUSS-SEIDELsches Iterationsverfahren |
217 |
|
|
5.4.3.7 Austauschverfahren |
221 |
|
|
5.4.4 CRAMERsche Regel |
221 |
|
|
5.4.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme |
222 |
|
|
5.5 Lineare Optimierung |
224 |
|
|
5.5.1 Allgemeines |
224 |
|
|
5.5.2 Grafische Lösung für zwei Variable |
226 |
|
|
5.5.3 Simplexalgorithmus |
227 |
|
|
5.6 Abbildungen |
231 |
|
|
5.6.1 Lineare Abbildungen |
231 |
|
|
5.6.2 Affine Abbildungen |
234 |
|
|
5.6.2.1 Allgemeines |
234 |
|
|
5.6.2.2 Allgemeine, nicht winkeltreue affine Abbildungen |
239 |
|
|
5.6.2.3 Ähnlichkeitsabbildungen |
242 |
|
|
5.6.2.4 Kongruenzabbildungen |
243 |
|
|
5.7 Koordinatentransformation |
246 |
|
|
5.7.1 Allgemeines |
246 |
|
|
5.7.2 Orthogonale Koordinatentransformation in der Ebene |
247 |
|
|
5.7.3 Orthogonale Koordinatentransformation im Raum |
248 |
|
|
6 Vektoren, Analytische Geometrie |
252 |
|
|
6.1 Vektoren, Grundlagen |
252 |
|
|
6.2 Vektoralgebra |
257 |
|
|
6.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren |
257 |
|
|
6.2.2 Multiplikation von Vektoren |
259 |
|
|
6.2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar |
259 |
|
|
6.2.2.2 Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt) |
259 |
|
|
6.2.2.3 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) |
261 |
|
|
6.2.2.4 Mehrfache Produkte von Vektoren |
263 |
|
|
6.3 Koordinatensysteme |
264 |
|
|
6.3.1 Allgemeines |
264 |
|
|
6.3.2 Ebene (2D-)Koordinatensysteme |
265 |
|
|
6.3.3 Räumliche (3D-)Koordinatensysteme |
266 |
|
|
6.4 Punkte, Kurven 1. Ordnung |
269 |
|
|
6.4.1 Punkte |
269 |
|
|
6.4.2 Gerade, Strahl, Strecke |
270 |
|
|
6.4.2.1 Punktmengen, Teilung einer Strecke |
270 |
|
|
6.4.2.2 Gleichungen einer Geraden in der (x, y)-Ebene |
272 |
|
|
6.4.2.3 Gleichungen einer Geraden im Raum |
274 |
|
|
6.4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden |
277 |
|
|
6.4.3 Mehrere Geraden |
278 |
|
|
6.4.3.1 Schnittpunkt zweier Geraden |
278 |
|
|
6.4.3.2 Schnittwinkel zweier Geraden |
280 |
|
|
6.4.3.3 Abstand zweier Geraden |
282 |
|
|
6.4.3.4 Drei und mehr Geraden |
283 |
|
|
6.5 Ebenen |
284 |
|
|
6.5.1 Eine Ebene |
284 |
|
|
6.5.1.1 Gleichungen einer Ebene im Raum |
284 |
|
|
6.5.1.2 Richtungskosinus der Normalen einer Ebene |
288 |
|
|
6.5.1.3 Abstand eines Punktes P1 von einer Ebene |
289 |
|
|
6.5.1.4 Durchstoßpunkt D einer Geraden durch eine Ebene |
290 |
|
|
6.5.1.5 Winkel phi zwischen Gerade und Ebene |
291 |
|
|
6.5.2 Zwei Ebenen |
292 |
|
|
6.5.3 Drei und mehr Ebenen |
293 |
|
|
6.5.4 Flächeninhalt, Schwerpunkt, Volumen |
293 |
|
|
6.6 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) |
295 |
|
|
6.6.1 Allgemeines |
295 |
|
|
6.6.2 Kreis |
297 |
|
|
6.6.2.1 Gleichungen des Kreises |
297 |
|
|
6.6.2.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis |
299 |
|
|
6.6.2.3 Tangente und Normale eines Kreises |
300 |
|
|
6.6.2.4 Polare eines Punktes in Bezug auf einen Kreis |
300 |
|
|
6.6.2.5 Potenz p eines Punktes in Bezug auf einen Kreis |
301 |
|
|
6.6.2.6 Kreisbüschel |
302 |
|
|
6.6.3 Ellipse |
302 |
|
|
6.6.3.1 Gleichungen der Ellipse |
302 |
|
|
6.6.3.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse |
304 |
|
|
6.6.3.3 Tangente, Normale und Durchmesser einer Ellipse |
305 |
|
|
6.6.3.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Ellipse |
306 |
|
|
6.6.3.5 Krümmung einer Ellipse |
306 |
|
|
6.6.3.6 Haupt- und Nebenkreis einer Ellipse |
307 |
|
|
6.6.3.7 Flächeninhalt und Umfang von Ellipse, Ellipsensegment und Ellipsensektor |
307 |
|
|
6.6.3.8 Ellipsenkonstruktionen |
308 |
|
|
6.6.4 Parabel |
310 |
|
|
6.6.4.1 Gleichungen der Parabel |
310 |
|
|
6.6.4.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel |
312 |
|
|
6.6.4.3 Tangente und Normale einer Parabel |
313 |
|
|
6.6.4.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Parabel |
313 |
|
|
6.6.4.5 Krümmung einer Parabel |
314 |
|
|
6.6.4.6 Parabelsegment, Parabelbogen, Brennstrahl |
314 |
|
|
6.6.4.7 Parabelkonstruktionen |
315 |
|
|
6.6.5 Hyperbel |
316 |
|
|
6.6.5.1 Gleichungen der Hyperbel |
317 |
|
|
6.6.5.2 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Hyperbel |
319 |
|
|
6.6.5.3 Tangente und Normale einer Hyperbel |
320 |
|
|
6.6.5.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Hyperbel |
321 |
|
|
6.6.5.5 Krümmung einer Hyperbel |
322 |
|
|
6.6.5.6 Hyperbelsegment und Hyperbelsektor |
323 |
|
|
6.6.5.7 Hyperbelkonstruktionen |
323 |
|
|
6.7 Flächen 2. Ordnung |
325 |
|
|
6.7.1 Allgemeines |
325 |
|
|
6.7.2 Kugel |
326 |
|
|
6.7.3 Ellipsoid |
327 |
|
|
6.7.4 Hyperboloid |
328 |
|
|
6.7.5 Kegel |
330 |
|
|
6.7.6 Zylinder |
331 |
|
|
6.7.7 Paraboloid |
332 |
|
|
6.8 Hauptachsentransformation |
334 |
|
|
7 Funktionen |
343 |
|
|
7.1 Allgemeines |
343 |
|
|
7.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen |
343 |
|
|
7.1.2 Funktionen mit mehreren Variablen |
347 |
|
|
7.2 Rationale Operationen mit Funktionen |
349 |
|
|
7.3 Grenzwerte, Unbestimmte Ausdrücke |
350 |
|
|
7.3.1 Grenzwert einer Funktion |
350 |
|
|
7.3.2 Unbestimmte Ausdrücke |
353 |
|
|
7.4 Eigenschaften reller Funktionen |
355 |
|
|
7.4.1 Ausgewählte Eigenschaften von Funktionen |
355 |
|
|
7.4.2 Nullstellen einer Funktion |
357 |
|
|
7.4.3 Stetigkeit einer Funktion |
358 |
|
|
7.5 Rationale Funktionen |
360 |
|
|
7.5.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) |
360 |
|
|
7.5.1.1 Ganzrationale Funktion 1. Grades (lineare Funktion) |
360 |
|
|
7.5.1.2 Ganzrationale Funktion 2. Grades (quadratische Funktion) |
360 |
|
|
7.5.1.3 Ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion) |
361 |
|
|
7.5.2 Zerlegung von Funktionen in Linearfaktoren |
361 |
|
|
7.5.3 Interpolation |
362 |
|
|
7.5.3.1 Allgemeines |
362 |
|
|
7.5.3.2 Interpolationsformel von LAGRANGE |
363 |
|
|
7.5.3.3 Interpolationsformel von NEWTON |
364 |
|
|
7.5.3.4 Interpolationsformel von GREGORY-NEWTON |
365 |
|
|
7.5.3.5 Interpolation durch kubische Polynomsplines |
367 |
|
|
7.5.3.6 BÉZIER-Splines |
369 |
|
|
7.5.4 Gebrochenrationale Funktion |
371 |
|
|
7.5.5 Potenzfunktion |
372 |
|
|
7.5.6 Sonstige (elementare) Funktionen |
373 |
|
|
7.6 Nichtrationale Funktionen |
376 |
|
|
7.6.1 Wurzelfunktion |
376 |
|
|
7.6.2 Exponentialfunktionen |
377 |
|
|
7.6.3 Logarithmusfunktionen |
379 |
|
|
7.6.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen |
380 |
|
|
7.6.4.1 Allgemeines |
380 |
|
|
7.6.4.2 Goniometrische Beziehungen |
383 |
|
|
7.6.4.3 Allgemeine Sinusfunktion (harmonische Funktion) |
388 |
|
|
7.6.4.4 Modulation |
389 |
|
|
7.6.4.5 Überlagerung (Superposition) von Schwingungen |
391 |
|
|
7.6.4.6 Multiplikation von Funktionen |
393 |
|
|
7.6.4.7 Komplexe Zeigerdarstellung von Sinusgrößen |
394 |
|
|
7.6.5 Zyklometrische Funktionen, Arkusfunktionen |
395 |
|
|
7.6.6 Hyperbelfunktionen |
399 |
|
|
7.6.7 Areafunktionen |
403 |
|
|
7.7 Algebraische Kurven höherer Ordnung |
406 |
|
|
7.7.1 Kurven 3. Ordnung |
406 |
|
|
7.7.2 Kurven 4. Ordnung |
408 |
|
|
7.8 Zykloiden (Rollkurven) |
409 |
|
|
7.8.1 Gewöhnliche (gespitzte) Zykloide |
409 |
|
|
7.8.2 Epizykloiden |
410 |
|
|
7.8.3 Hypozykloiden |
412 |
|
|
7.9 Spirallinien |
414 |
|
|
7.9.1 Logarithmische Spirale |
414 |
|
|
7.9.2 ARCHIMEDIsche Spirale |
415 |
|
|
7.9.3 Hyperbolische Spirale |
415 |
|
|
7.10 Sonstige Kurven |
416 |
|
|
7.10.1 Kettenlinie |
416 |
|
|
7.10.2 Traktrix (Schleppkurve) |
416 |
|
|
7.11 Komplexe Funktionen |
417 |
|
|
7.11.1 Allgemeines |
417 |
|
|
7.11.2 Konforme Abbildungen |
419 |
|
|
7.11.2.1 Lineare und quadratische konforme Abbildungen |
419 |
|
|
7.11.2.2 Inversion (Stürzung) |
421 |
|
|
8 Differenzialrechnung |
424 |
|
|
8.1 Funktionen einer Variablen |
424 |
|
|
8.1.1 Allgemeines |
424 |
|
|
8.1.2 Erste Ableitungen der elementaren Funktionen |
426 |
|
|
8.1.3 Differenziationsregeln, Ableitungsregeln |
427 |
|
|
8.1.3.1 Grundregeln |
427 |
|
|
8.1.3.2 Höhere Ableitungen und Differenziale |
429 |
|
|
8.1.3.3 Differenziation impliziter Funktionen F(x, y) = 0 |
430 |
|
|
8.1.3.4 Differenziation von Funktionen in Parameterform |
431 |
|
|
8.1.3.5 Differenziation von Funktionen in Polarkoordinaten |
431 |
|
|
8.1.4 Grafische Differenziation |
432 |
|
|
8.1.5 Numerische Differenziation |
432 |
|
|
8.1.6 Logarithmische Differenziation |
433 |
|
|
8.1.7 Mittelwertsätze |
434 |
|
|
8.2 Funktionen mehrerer Variablen |
435 |
|
|
8.2.1 Partielle Ableitung 1. Ordnung |
435 |
|
|
8.2.2 Höhere partielle Ableitungen |
436 |
|
|
8.2.3 Totale Ableitungen für zwei Variable |
437 |
|
|
8.3 Anwendungen, Differenzialgeometrie |
439 |
|
|
8.3.1 Ebene Kurven |
439 |
|
|
8.3.1.1 Bogenelement, Differenzial der Bogenlänge |
439 |
|
|
8.3.1.2 Tangente und Normale |
439 |
|
|
8.3.1.3 Zwei Kurven |
441 |
|
|
8.3.1.4 Monotonie und Krümmungsverhalten einer Funktion |
442 |
|
|
8.3.1.5 Lokale Extrema von Funktionen |
446 |
|
|
8.3.1.6 Besondere Punkte einer Kurve |
450 |
|
|
8.3.1.7 Asymptoten |
452 |
|
|
8.3.1.8 Einhüllende Kurven (Enveloppe) |
453 |
|
|
8.3.1.9 Kurvendiskussion |
453 |
|
|
8.3.2 Raumkurven |
453 |
|
|
8.3.2.1 Darstellungen in kartesischen Koordinaten |
453 |
|
|
8.3.2.2 Bogenelement einer Raumkurve |
454 |
|
|
8.3.2.3 Tangente und Normale einer Raumkurve |
454 |
|
|
8.3.2.4 Krümmung einer Raumkurve |
458 |
|
|
8.3.2.5 Windung (Torsion) |
459 |
|
|
8.3.3 Flächen im Raum |
460 |
|
|
8.3.4 Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen |
467 |
|
|
9 Integralrechnung |
470 |
|
|
9.1 Allgemeines |
470 |
|
|
9.1.1 Unbestimmtes Integral |
470 |
|
|
9.1.2 Bestimmtes Integral (RIEMANNschesIntegral) |
471 |
|
|
9.1.3 Uneigentliche Integrale |
474 |
|
|
9.2 Grundintegrale, Stammintegrale |
476 |
|
|
9.3 Integrationsregeln und -verfahren |
477 |
|
|
9.3.1 Grundregeln |
477 |
|
|
9.3.2 Integration durch Substitution |
477 |
|
|
9.3.3 Partielle Integration (Produktintegration) |
481 |
|
|
9.3.4 Integration nach Partialbruchzerlegung |
481 |
|
|
9.3.5 Integration nach Reihenentwicklung |
484 |
|
|
9.3.6 Grafische Integration |
486 |
|
|
9.4 Numerische Integration |
487 |
|
|
9.4.1 Allgemeines |
487 |
|
|
9.4.2 NEWTON-COTES-Formel |
488 |
|
|
9.4.2.1 Rechteckformel |
490 |
|
|
9.4.2.2 Sehnentrapezformel |
491 |
|
|
9.4.2.3 SIMPSONsche Formel, KEPLERscheFassformel |
492 |
|
|
9.4.2.4 NEWTONsche3/8-Formel |
493 |
|
|
9.4.2.5 Tangententrapezformel |
494 |
|
|
9.4.3 GAUSSschesQuadraturverfahren |
494 |
|
|
9.4.4 ROMBERG-Quadraturverfahren |
495 |
|
|
9.5 Bereichsintegrale, Gebietsintegrale |
498 |
|
|
9.5.1 Zweidimensionales Bereichsintegral, Doppelintegral |
498 |
|
|
9.5.2 Raumintegral, Volumenintegral, Dreifachintegral |
501 |
|
|
9.6 Anwendungen der Integralrechnung |
502 |
|
|
9.6.1 Geometrische Anwendungen |
502 |
|
|
9.6.1.1 Flächeninhalte (Quadratur) |
502 |
|
|
9.6.1.2 Bogenlänge (Rektifikation) |
505 |
|
|
9.6.1.3 Mantelflächen von Rotationskörpern |
505 |
|
|
9.6.1.4 Volumen von Rotationskörpern (Kubatur) |
505 |
|
|
9.6.1.5 Volumen eines Körpers |
506 |
|
|
9.6.2 Technisch-physikalische Anwendungen |
507 |
|
|
9.6.2.1 Bewegungen, Kinematik |
507 |
|
|
9.6.2.2 Arbeit |
507 |
|
|
9.6.2.3 Zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen |
508 |
|
|
9.6.2.4 Momente 1. Grades |
508 |
|
|
9.6.2.5 Schwerpunkte |
510 |
|
|
9.6.2.6 Momente 2. Grades (Festigkeitslehre) |
512 |
|
|
9.6.2.7 Massenmomente 2. Grades (Dynamik) |
513 |
|
|
10 Vektoranalysis |
515 |
|
|
10.1 Vektorfunktionen |
515 |
|
|
10.2 Felder |
516 |
|
|
10.3 Gradient eines skalaren Feldes |
519 |
|
|
10.4 Divergenz eines Vektorfeldes |
521 |
|
|
10.5 Rotation eines Vektorfeldes |
523 |
|
|
10.6 Kurvenintegrale (Linienintegrale) |
525 |
|
|
10.6.1 Kurvenintegral erster Art |
525 |
|
|
10.6.2 Kurvenintegral (zweiter Art) |
526 |
|
|
10.7 Flächenintegrale (Oberflächenintegrale) |
531 |
|
|
10.7.1 Flächenintegral erster Art |
531 |
|
|
10.7.2 Flächenintegral zweiter Art |
532 |
|
|
10.8 Integralsätze |
534 |
|
|
10.8.1 GAUSSscherIntegralsatz |
534 |
|
|
10.8.2 STOKESscherIntegralsatz |
536 |
|
|
11 Differenzialgleichungen |
539 |
|
|
11.1 Allgemeines |
539 |
|
|
11.1.1 Differenzialgleichungen, Arten |
539 |
|
|
11.1.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen |
540 |
|
|
11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung |
545 |
|
|
11.2.1 Differenzialgleichung mit trennbaren Variablen |
545 |
|
|
11.2.2 Gleichgradige Differenzialgleichung 1. Ordnung |
547 |
|
|
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung |
548 |
|
|
11.2.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung |
548 |
|
|
11.2.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung |
549 |
|
|
11.2.4 Totale Differenzialgleichung |
551 |
|
|
11.2.5 Integrierender Faktor |
552 |
|
|
11.2.6 BERNOULLIscheDifferenzialgleichung |
553 |
|
|
11.2.7 RICCATIscheDifferenzialgleichung |
553 |
|
|
11.2.8 CLAIRAUTscheDifferenzialgleichung |
554 |
|
|
11.3 Differenzialgleichungen 2. Ordnung |
555 |
|
|
11.3.1 Sonderfälle, Erniedrigung der Ordnung |
555 |
|
|
11.3.2 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten |
557 |
|
|
11.3.3 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten |
558 |
|
|
11.3.4 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten |
559 |
|
|
11.3.5 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten |
563 |
|
|
11.3.6 BESSELscheDifferenzialgleichung |
565 |
|
|
11.3.7 Anwendungsfall Schwingungen |
567 |
|
|
11.4 Differenzialgleichungen n-ter Ordnung |
570 |
|
|
11.5 Lineare Differenzialgleichungssysteme |
574 |
|
|
11.6 Näherungslösungen für Differenzialgleichungen 1. Ordnung |
576 |
|
|
11.6.1 Verfahren unbestimmter Koeffizienten |
576 |
|
|
11.6.2 Iterationsverfahren |
578 |
|
|
11.7 Anfangswertprobleme |
579 |
|
|
11.7.1 Allgemeines |
579 |
|
|
11.7.2 Explizite Einschrittverfahren |
582 |
|
|
11.7.2.1 Polygonzugverfahren von EULER-CAUCHY |
582 |
|
|
11.7.2.2 HEUN-Verfahren |
584 |
|
|
11.7.2.3 Klassisches Verfahren von RUNGE-KUTTA |
584 |
|
|
11.7.2.4 Einbettungsformeln |
585 |
|
|
11.7.3 Mehrschrittverfahren |
585 |
|
|
11.7.3.1 Explizitverfahren von ADAMS-BASHFORTH |
586 |
|
|
11.7.3.2 Prädiktor-Korrektor-Verfahren von ADAMS-MOULTON |
586 |
|
|
11.7.4 Extrapolationsverfahren von BULIRSCH-STOER-GRAGG |
588 |
|
|
11.8 Randwertprobleme |
588 |
|
|
11.8.1 Allgemeines |
588 |
|
|
11.8.2 Schießverfahren |
590 |
|
|
11.8.3 Direkte Differenzenapproximation |
591 |
|
|
11.9 Partielle Differenzialgleichungen |
594 |
|
|
11.9.1 Allgemeines |
594 |
|
|
11.9.2 Partielle Differenzialgleichung 1. Ordnung |
594 |
|
|
11.9.3 Partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung |
596 |
|
|
12 Reihen, F- und L-Transformation |
598 |
|
|
12.1 Unendliche Reihen |
598 |
|
|
12.1.1 Unendliche Zahlenreihen |
598 |
|
|
12.1.2 Summen einiger konvergenter Zahlenreihen |
601 |
|
|
12.1.3 Potenzreihen |
602 |
|
|
12.1.3.1 Allgemeines |
602 |
|
|
12.1.3.2 Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen |
604 |
|
|
12.1.4 Numerische Berechnung von Reihen |
607 |
|
|
12.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Reihen |
608 |
|
|
12.1.6 Näherungsformeln |
612 |
|
|
12.2 FOURIER-Reihen |
614 |
|
|
12.2.1 FOURIER-Reiheeiner periodischen Funktion |
614 |
|
|
12.2.2 Numerische harmonische Analyse |
620 |
|
|
12.2.3 Ausgewählte FOURIER-Reihen |
621 |
|
|
12.3 FOURIER-Transformationen |
627 |
|
|
12.4 LAPLACE-Transformationen |
630 |
|
|
12.4.1 LAPLACE-Transformation,Allgemeines |
630 |
|
|
12.4.2 Rechenregeln der LAPLACE-Transformation |
632 |
|
|
12.4.3 Anwendungen der LAPLACE-Transformation |
635 |
|
|
12.4.3.1 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen |
635 |
|
|
12.4.3.2 Test linearer Übertragungsglieder |
639 |
|
|
12.4.4 Korrespondenztabelle der LAPLACE-Transformation |
642 |
|
|
13 Statistik, Stochastik |
646 |
|
|
13.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik |
646 |
|
|
13.1.1 Grundbegriffe |
646 |
|
|
13.1.2 Lageparameter |
650 |
|
|
13.1.3 Streuungsparameter |
655 |
|
|
13.1.4 Korrelation |
658 |
|
|
13.1.5 Lineare Ausgleichsrechnung |
660 |
|
|
13.1.5.1 Methode der kleinsten Quadrate |
660 |
|
|
13.1.5.2 Ausgleichende Gerade |
661 |
|
|
13.1.5.3 Ausgleichende Parabel |
662 |
|
|
13.1.5.4 Multiple Regression |
663 |
|
|
13.1.6 Fehlerfortpflanzung |
664 |
|
|
13.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung |
668 |
|
|
13.2.1 Zufallsexperiment und Ereignis |
668 |
|
|
13.2.2 Definition der Wahrscheinlichkeit |
670 |
|
|
13.2.3 Sätze über Wahrscheinlichkeiten |
671 |
|
|
13.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse |
673 |
|
|
13.2.5 Zufällige Variable |
676 |
|
|
13.2.6 Kenngrößen von zufälligen Variablen |
679 |
|
|
13.2.6.1 Erwartungswert |
679 |
|
|
13.2.6.2 Varianz und Standardabweichung |
681 |
|
|
13.2.6.3 Schiefe und Exzess |
683 |
|
|
13.2.7 Ausgewählte diskrete Verteilungen |
684 |
|
|
13.2.7.1 Diskrete Gleichverteilung |
684 |
|
|
13.2.7.2 BERNOULLI-Verteilung |
685 |
|
|
13.2.7.3 Binomialverteilung |
685 |
|
|
13.2.7.4 POISSON-Verteilung |
688 |
|
|
13.2.7.5 Hypergeometrische Verteilung |
690 |
|
|
13.2.7.6 Geometrische Verteilung |
691 |
|
|
13.2.8 Ausgewählte stetige Verteilungen |
692 |
|
|
13.2.8.1 Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung) |
692 |
|
|
13.2.8.2 Normalverteilung |
692 |
|
|
13.2.8.3 Exponentialverteilung |
698 |
|
|
13.2.8.4 X²-Verteilung |
699 |
|
|
13.2.8.5 t -Verteilung (STUDENT-Verteilung) |
700 |
|
|
13.3 Schließende (induktive) Statistik |
701 |
|
|
13.3.1 Grundbegriffe |
701 |
|
|
13.3.2 Punktschätzungen |
702 |
|
|
13.3.3 Intervallschätzungen |
704 |
|
|
13.3.3.1 Konfidenzintervall für den Anteil p |
705 |
|
|
13.3.3.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ |
706 |
|
|
13.3.3.3 Konfidenzintervall für die Varianz ò |
709 |
|
|
13.3.4 Hypothesentests |
710 |
|
|
13.3.4.1 Allgemeines über Tests |
710 |
|
|
13.3.4.2 Test über den Anteil p |
712 |
|
|
13.3.4.3 Tests über den Erwartungswert µ |
715 |
|
|
13.3.4.4 Test über die Varianz ò |
718 |
|
|
13.3.4.5 Dz-Anpassungstest |
719 |
|
|
14 Integraltabellen |
722 |
|
|
14.1 Integrale rationaler Funktionen |
723 |
|
|
14.2 Integrale nichtrationaler Funktionen |
733 |
|
|
14.3 Integrale transzendenter Funktionen |
749 |
|
|
14.4 Bestimmte und uneigentliche Integrale |
767 |
|
|
Anhang |
775 |
|
|
Sachwortverzeichnis |
786 |
|