Vorwort	6
	Inhaltsverzeichnis	8
	1 Grundlagen	18
	1.1 Logik und Mengen	18
	1.1.1 Aussagenlogik	18
	1.1.2 Mengen	21
	1.2 Zahlen	24
	1.2.1 Natürliche Zahlen	24
	1.2.2 Ganze Zahlen	25
	1.2.3 Rationale Zahlen	26
	1.2.4. Reelle Zahlen	27
	1.2.5 Ordnung	29
	1.2.6 Intervalle	30
	1.2.7 Betrag und Signum	31
	1.2.8 Summe und Produkt	34
	1.3 Potenz und Wurzel	35
	1.3.1 Potenzen	35
	1.3.2 Potenzgesetze	36
	1.3.3 Wurzeln	36
	1.3.4 Binomischer Satz	37
	1.4 Trigonometrie	39
	1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck	39
	1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß	41
	1.4.3 Sinus- und Kosinussatz	42
	1.5 Gleichungen und Ungleichungen	43
	1.5.1 Lineare Gleichungen	44
	1.5.2 Potenzgleichungen	45
	1.5.3 Quadratische Gleichungen	45
	1.5.4 Wurzelgleichungen	47
	1.5.5 Ungleichungen	48
	1.6 Beweise	50
	1.6.1 Direkter Beweis	51
	1.6.2 Indirekter Beweis	51
	1.6.3 Konstruktiver Beweis	52
	1.6.4 Vollständige Induktion	53
	1.7 Aufgaben	54
	2 Lineare Gleichungssysteme	56
	2.1 Einführung	56
	2.2 Gauß-Algorithmus	58
	2.2.1 Äquivalenzumformungen	59
	2.2.2 Vorwärtselimination	60
	2.2.3 Rückwärtseinsetzen	61
	2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren	62
	2.2.5 Rechenschema	63
	2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme	65
	2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung	65
	2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen	66
	2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen	67
	2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme	68
	2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme	69
	2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme	70
	2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern	72
	2.4 Numerische Verfahren	74
	2.4.1 Jakobi-Iteration	74
	2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration	75
	2.5 Anwendungen	76
	2.5.1 Produktion	76
	2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik	77
	2.6 Aufgaben	78
	3 Vektoren	80
	3.1 Der Begriff eines Vektors	80
	3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten	82
	3.2.1 Addition und Subtraktion	82
	3.2.2 Skalare Multiplikation	84
	3.2.3 Skalarprodukt	85
	3.2.4 Vektorprodukt	89
	3.2.5 Spatprodukt	92
	3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	94
	3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung	96
	3.3.1 Koordinatendarstellung	97
	3.3.2 Addition und Subtraktion	98
	3.3.3 Skalare Multiplikation	99
	3.3.4 Skalarprodukt	99
	3.3.5 Vektorprodukt	101
	3.3.6 Spatprodukt	103
	3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung	103
	3.4 Punkte, Geraden und Ebenen	105
	3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem	105
	3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen	107
	3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen	109
	3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen	110
	3.4.5 Abstände	112
	3.4.6 Winkel	115
	3.5 Anwendungen	117
	3.5.1 Kraft	117
	3.5.2 Arbeit	117
	3.5.3 Drehmoment	118
	3.6 Aufgaben	119
	4 Matrizen	124
	4.1 Der Begriff einer Matrix	124
	4.2 Rechnen mit Matrizen	128
	4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation	129
	4.2.2 Multiplikation von Matrizen	130
	4.3 Determinanten	136
	4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix	136
	4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix	138
	4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix	142
	4.4 Inverse Matrix	145
	4.4.1 Invertierbare Matrizen	146
	4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix	147
	4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem	147
	4.5 Lineare Abbildungen	148
	4.5.1 Matrizen als Abbildungen	148
	4.5.2 Kern, Bild und Rang	150
	4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren	151
	4.7 Numerische Verfahren	156
	4.8 Anwendungen	157
	4.9 Aufgaben	159
	5 Funktionen	162
	5.1 Einführung	162
	5.1.1 Begriff der Funktion	162
	5.1.2 Wertetabelle	165
	5.1.3 Schaubild	165
	5.1.4 Explizite und implizite Darstellung	167
	5.1.5 Abschnittsweise definierte Funktionen	168
	5.1.6 Funktionsschar	169
	5.1.7 Verkettung von Funktionen	170
	5.2 Polynome und rationale Funktionen	174
	5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen	174
	5.2.2 Polynome	176
	5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen	183
	5.3 Eigenschaften	191
	5.3.1 Symmetrie	191
	5.3.2 Periode	195
	5.3.3 Monotonie	196
	5.3.4 Beschränktheit	197
	5.4 Sinus, Kosinus und Tangens	198
	5.4.1 Definition am Einheitskreis	198
	5.4.2 Eigenschaften	200
	5.4.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion	202
	5.5 Grenzwert und Stetigkeit	204
	5.5.1 Zahlenfolgen	205
	5.5.2 Grenzwert einer Funktion	211
	5.5.3 Stetigkeit	213
	5.5.4 Asymptotisches Verhalten	218
	5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen	222
	5.6.1 Exponentialfunktionen	222
	5.6.2 Die e-Funktion	224
	5.6.3 Hyperbelfunktionen	226
	5.7 Umkehrfunktionen	229
	5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion	229
	5.7.2 Wurzelfunktionen	231
	5.7.3 Arkusfunktionen	232
	5.7.4 Logarithmusfunktionen	236
	5.7.5 Area-Funktionen	239
	5.8 Numerische Verfahren	240
	5.8.1 Berechnung von Funktionswerten	240
	5.8.2 Bisektionsverfahren	241
	5.9 Anwendungen	243
	5.9.1 Messwerte	243
	5.9.2 Industrieroboter	245
	5.10 Aufgaben	246
	6 Differenzialrechnung	252
	6.1 Steigung und Ableitungsfunktion	252
	6.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit	252
	6.1.2 Differenzial	256
	6.1.3 Ableitungsfunktion	256
	6.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung	260
	6.1.5 Höhere Ableitungen	261
	6.2 Ableitungstechnik	262
	6.2.1 Ableitungsregeln	262
	6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion	267
	6.2.3 Logarithmisches Differenzieren	269
	6.2.4 Implizites Differenzieren	270
	6.2.5 Zusammenfassung	271
	6.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital	272
	6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen	276
	6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel	276
	6.4.2 Monotonie	278
	6.4.3 Krümmung	279
	6.4.4 Lokale Extrema	280
	6.4.5 Wendepunkte	284
	6.4.6 Globale Extrema	285
	6.5 Numerische Verfahren	286
	6.5.1 Numerische Differenziation	287
	6.5.2 Newton-Verfahren	288
	6.5.3 Sekantenverfahren	290
	6.6 Anwendungen	291
	6.6.1 Fehlerrechnung	291
	6.6.2 Extremwertaufgaben	293
	6.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit	295
	6.7 Aufgaben	296
	7 Integralrechnung	302
	7.1 Flächenproblem	302
	7.1.1 Integralsymbol	302
	7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen	303
	7.1.3 Bestimmtes Integral	305
	7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral	306
	7.2.1 Integralfunktion	306
	7.2.2 Stammfunktion	308
	7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion	310
	7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung	311
	7.3 Integrationstechnik	313
	7.3.1 Integrationsregeln	313
	7.3.2 Integration durch Substitution	317
	7.3.3 Partielle Integration	324
	7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen	326
	7.3.5 Uneigentliche Integrale	329
	7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen	332
	7.4.1 Flächeninhalte	332
	7.4.2 Bogenlänge	334
	7.4.3 Rotationskörper	336
	7.5 Numerische Verfahren	340
	7.5.1 Trapezregel	341
	7.5.2 Romberg-Verfahren	343
	7.6 Anwendungen	343
	7.6.1 Effektivwert	343
	7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen	344
	7.7 Aufgaben	348
	8 Potenzreihen	352
	8.1 Unendliche Reihen	353
	8.2 Potenzreihen und Konvergenz	357
	8.3 Taylor-Reihen	358
	8.4 Eigenschaften	360
	8.5 Numerische Verfahren	366
	8.6 Anwendungen	367
	8.7 Aufgaben	368
	9 Kurven	370
	9.1 Parameterdarstellung	370
	9.2 Kegelschnitte	373
	9.3 Tangente	379
	9.4 Krümmung	381
	9.5 Bogenlänge	384
	9.6 Numerische Verfahren	386
	9.7 Anwendungen	388
	9.7.1 Mechanik	388
	9.7.2 Straßenbau	389
	9.8 Aufgaben	391
	10 Funktionen mit mehreren Variablen	394
	10.1 Definition und Darstellung	394
	10.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen	394
	10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen	395
	10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien	395
	10.2 Grenzwert und Stetigkeit	399
	10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen	399
	10.2.2 Stetigkeit	400
	10.3 Differenziation	401
	10.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit	401
	10.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene	404
	10.3.3 Gradient und Richtungsableitung	406
	10.3.4 Differenzial	409
	10.3.5 Höhere partielle Ableitungen	412
	10.3.6 Extremwerte	414
	10.4 Ausgleichsrechnung	416
	10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate	416
	10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen	417
	10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung	421
	10.5 Vektorwertige Funktionen	423
	10.6 Numerische Verfahren	424
	10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren	424
	10.6.2 Gradientenverfahren	426
	10.7 Anwendungen	428
	10.8 Aufgaben	430
	11 Komplexe Zahlen und Funktionen	432
	11.1 Definition und Darstellung	432
	11.1.1 Komplexe Zahlen	432
	11.1.2 Gaußsche Zahlenebene	433
	11.1.3 Polarkoordinaten	434
	11.1.4 Exponentialform	436
	11.2 Rechenregeln	438
	11.2.1 Gleichheit	438
	11.2.2 Addition und Subtraktion	438
	11.2.3 Multiplikation und Division	439
	11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl	441
	11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl	441
	11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome	443
	11.3.1 Potenzen	444
	11.3.2 Wurzeln	444
	11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra	447
	11.4 Komplexe Funktionen	449
	11.4.1 Ortskurven	450
	11.4.2 Harmonische Schwingungen	451
	11.4.3 Transformationen	455
	11.5 Anwendungen	459
	11.6 Aufgaben	460
	12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen	462
	12.1 Einführung	462
	12.1.1 Grundbegriffe	462
	12.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem	465
	12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie	467
	12.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar	469
	12.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung	470
	12.2.1 Separation der Variablen	471
	12.2.2 Lineare Substitution	473
	12.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen	474
	12.3 Lineare Differenzialgleichungen	475
	12.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen	475
	12.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung	478
	12.3.3 Allgemeine Eigenschaften	482
	12.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	485
	12.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen	498
	12.4.1 Allgemeine Form	498
	12.4.2 Freie Schwingung	499
	12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung	501
	12.4.4 Frequenzgänge	505
	12.5 Differenzialgleichungssysteme	507
	12.5.1 Eliminationsverfahren	507
	12.5.2 Zustandsvariablen	509
	12.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten	511
	12.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System	517
	12.5.5 Stabilität	519
	12.6 Numerische Verfahren	523
	12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler	523
	12.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme	525
	12.7 Anwendungen	526
	12.7.1 Temperaturverlauf	526
	12.7.2 Radioaktiver Zerfall	526
	12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand	527
	12.7.4 Feder-Masse-Schwinger	528
	12.7.5 Pendel	529
	12.7.6 Wechselstromkreise	529
	12.8 Aufgaben	532
	13 Fourier-Reihen	536
	13.1 Fourier-Analyse	536
	13.1.1 Periodische Funktionen	536
	13.1.2 Trigonometrische Polynome	538
	13.1.3 Fourier-Reihe	540
	13.1.4 Satz von Fourier	541
	13.1.5 Gibbssches Phänomen	544
	13.2 Komplexe Darstellung	546
	13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe	546
	13.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten	548
	13.2.3 Spektrum	550
	13.2.4 Minimaleigenschaft	553
	13.3 Eigenschaften	555
	13.3.1 Symmetrie	555
	13.3.2 Integrationsintervall	556
	13.3.3 Mittelwert	557
	13.3.4 Linearität	557
	13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	559
	13.3.6 Zeitverschiebung	560
	13.4 Aufgaben	562
	14 Verallgemeinerte Funktionen	564
	14.1 Heaviside-Funktion	564
	14.2 Dirac-Distribution	566
	14.3 Verallgemeinerte Ableitung	568
	14.4 Faltung	570
	14.5 Aufgaben	573
	15 Fourier-Transformation	574
	15.1 Integraltransformation	574
	15.1.1 Definition	574
	15.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil	576
	15.1.3 Sinus- und Kosinustransformation	578
	15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen	579
	15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase	581
	15.2 Eigenschaften	582
	15.2.1 Linearität	583
	15.2.2 Zeitverschiebung	584
	15.2.3 Amplitudenmodulation	586
	15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr	588
	15.3 Inverse Fourier-Transformation	589
	15.3.1 Definition	589
	15.3.2 Vertauschungssatz	591
	15.3.3 Linearität	592
	15.4 Differenziation, Integration und Faltung	592
	15.4.1 Differenziation im Zeitbereich	592
	15.4.2 Differenziation im Frequenzbereich	594
	15.4.3 Multiplikationssatz	594
	15.4.4 Integration	595
	15.4.5 Faltung	596
	15.5 Periodische Funktionen	596
	15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe	597
	15.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe	597
	15.5.3 Grenzwertbetrachtung	599
	15.6 Anwendungen	601
	15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme	601
	15.6.2 Tiefpassfilter	603
	15.7 Aufgaben	605
	16 Laplace-Transformation	608
	16.1 Bildbereich	608
	16.1.1 Definition	608
	16.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation	611
	16.2 Eigenschaften	612
	16.2.1 Linearität	612
	16.2.2 Ähnlichkeit	613
	16.2.3 Zeitverschiebung	614
	16.2.4 Dämpfung	615
	16.3 Differenziation, Integration und Faltung	616
	16.3.1 Differenziation	616
	16.3.2 Integration	618
	16.3.3 Faltung	619
	16.3.4 Grenzwerte	620
	16.4 Transformation periodischer Funktionen	620
	16.5 Rücktransformation	622
	16.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen	623
	16.7 Anwendungen	629
	16.8 Aufgaben	632
	17 z-Transformation	634
	17.1 Transformation diskreter Signale	634
	17.1.1 Definition	634
	17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation	636
	17.2 Eigenschaften	637
	17.2.1 Linearität	637
	17.2.2 Verschiebung	638
	17.2.3 Dämpfung	639
	17.2.4 Vorwärtsdifferenzen	639
	17.3 Lösung von Differenzengleichungen	640
	17.4 Anwendungen	642
	17.5 Aufgaben	644
	A Anhang	646
	A.1 Ableitungen	646
	A.2 Ableitungsregeln	646
	A.3 Integrale	647
	A.4 Integralregeln	648
	A.5 Potenzreihen	648
	A.6 Fourier-Reihen	649
	A.7 Fourier-Transformationen	651
	A.8 Laplace-Transformationen	653
	A.9 z-Transformationen	654
	A.10 Griechisches Alphabet	654
	A.11 Bedeutende Mathematiker	655
	Literaturverzeichnis	672
	Sachwortverzeichnis	674